Superficies y volúmenes

Superficie

Configuración geométrica que posee solo dos dimensiones.

superficie

Clasificación de las Superficies

Entre las superficies principales se pueden mencionar:

Superficie reglada

Superficie generada por el movimiento de una recta, denominada generatriz, manteniéndose en contacto con otra u otras líneas, denominadas directrices, cumpliendo además en su desplazamiento ciertas condiciones particulares.

superficie reglada

Superficie de curvatura simple

Superficie reglada en la cual cada dos posiciones adyacentes de la generatriz (g) son coplanares (son paralelas o se cortan).

Las superficies de curvatura simple son superficies desarrollables, es decir, pueden extenderse sobre un plano. Ejemplos de estas superficies son:

• superficie cilindrica: superficie generada por el movimiento de una generatriz (g) que se mantiene en contacto con una directriz (d) curva, siendo además paralelas todas las posiciones de la generatriz; se clasifican en:
  • superficie cilindrica de revolución: superficie cilíndrica en la cual todas las posiciones de la generatriz (g) equidistan de un eje (e), paralelo a ella,
  • superficie cilindrica de nó revolución: superficie cilíndrica en la cual no es posible definir un eje (e) que equidiste de todas las posiciones de la generatriz (g),
• superficie cónica: superficie reglada generada por el movimiento de una generatriz (g), manteniéndose en contacto con una directriz (d) curva, teniendo, todas las posiciones de la generatriz (g), un punto común (V), denominado vértice; se clasifican en:
  • superficie cónica de revolución: superficie cónica en la cual, todas las posiciones de la generatriz (g), forman el mismo ángulo con un eje (e), que pasa por el vértice (V),
  • superficie cónica de nó revolución: superficie cónica en la cual no es posible definir un eje (e), que forme el mismo ángulo con todas las posiciones de la generatriz.

superficie de curvatura simple

Superficie alabeada

Es una superficie reglada nó desarrollable, es decir, en la cual, dos posiciones sucesivas de la generatriz no son coplanares. Entre este tipo de superficies, se puede citar:

• cilindroide: la generatriz (g) se desplaza manteniéndose paralela a un plano director (d) y apoyada sobre dos directrices (d₁ y d₂) curvas,
• conoide: la generatriz (g) se desplaza manteniéndose paralela a un plano director (d) y apoyada sobre dos directrices, siendo una de ellas recta (d₁) y la otra curva (d₂).
• Superficie doblemente reglada: Superficie alabeada en la cual por cada uno de sus puntos pasan dos generatrices (g₁ y g₂). Entre ellas se pueden citar:
  • paraboloide hiperbólico: la generatriz (g) se desplaza manteniéndose paralela a un plano director (d) y apoyada sobre dos directrices rectas (d₁ y d₂) que se cruzan,
  • hiperboloide de revolución: la generatriz (g) se apoya sobre dos directrices (d₁ y d₂) circulares, paralelas, y se mueve manteniendo constante el ángulo (a⁰) que forma ellas.

Superficie de curvatura doble

Son superficies generadas por el movimiento de una generatriz (g) curva. Estas superficies no contienen líneas rectas y por lo tanto no son desarrollables. Entre ellas son muy conocidas las cuádricas, las cuales son superficies generadas por la rotación de una curva cónica alrededor de uno de sus ejes. Las cuádricas son:

• esfera: la generatriz (g) es una circunferencia,
• elipsoide: la generatriz (g) es una elipse,
• paraboloide: la generatriz (g) es una parábola,
• hiperboloide: La generatriz (g) es una hipérbola.

superficie de curvatura doble 

Construcción de polígonos mediante el compás.

  Mediante la aplicación de los conceptos referentes a los ángulos de los polígonos, es posible servirse del instrumento de dibujo que es el compás, para construir graficamente diversos polígonos.

El compás es un instrumento básicamente aplicable en el trazado de circunferencias, que delimitan una figura plana que es el círculo; el cual puede ser considerado un tipo especial de polígono regular, en el cual todos sus lados están constituídos solamente por un punto, y cuya dimensión está determinada por la longitud del radio, que es equivalente a la abertura del compás.

El método a utilizar para construir polígonos mediante el uso del compás, se basa en determinar los vértices de los lados del polígono, estableciendo en qué puntos de la circunsferencia deben situarse para que el polígono resulte inscripto en ella.

Esa determinación se realiza a partir del conocimiento de los valores de los ángulos centrales del polígono que se desea construir.

 Para trazar un triángulo equilátero inscripto en un círculo, manteniendo el radio (abertura del compás) empleado para trazar el círculo, se determina un punto de la circunferencia (preferiblemente en la vertical inferior de su centro), y centrando en ese punto se traza un arco con extremos en la circunsferencia.

Los puntos de intersección (A y B) determinan un lado del triángulo equilátero; por lo cual tomando la medida de ese segmento con el compás y trasladándola sobre la parte superior de la circunferencia, se determinará el vértice (C) de unión de los otros dos lados.

 

 Para trazar un cuadrado inscripto en un círculo, se traza una recta que pasando por el centro llegue a la circunsferencia en sus extremos (diámetro AB).

Con una abertura del compás mayor a la empleada para trazar el círculo, centrando en los puntos extremos del diámetro, se marcan puntos en la circunferencia; lo que determinará dos nuevos puntos (C y D). Uniéndolos mediante una recta, resultará un nuevo diámetro perpendicular al anterior; cuyos puntos de contacto con la circunferencia serán los vértices del cuadrado inscripto.

Como el cuadrado inscripto queda en posición transversal, puede trazarse otro con los lados en posición horizontal y vertical, simplemente trazando las medianas del cuadrado anterior, para determinar los vértices A', B', C' y D', de un nuevo cuadrado inscripto en el mismo círculo.

 Para trazar un exágono inscripto en un círculo, se fija un punto sobre la circunferencia, y con la misma abertura del compás, se marcan puntos haciendo centro primero en ese punto y luego sucesivamente en los nuevos puntos.

Ello determinará que se marquen sobre la circunferencia los seis puntos que corresponden a los vértices del exágono.

CALCULO de SUPERFICIES

Los polígonos son equivalentes cuando tienen la misma superficie, aunque tengan  distinta forma. Esta propiedad es de suma utilidad para calcular la superficie de  diferentes polígonos.

Volumen

El volumen es el espacio que ocupan los cuerpos.

Los cuerpos geométricos existen en el espacio y son por lo tanto objetos que tienen tres dimensiones (ancho, alto y largo) limitados por una o más superficies. Si todas las superficies son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. Si el cuerpo no está limitado por polígonos, sino por superficies curvadas recibe el nombre de cuerpos redondos.

La fórmula para  calcular el volumen de un cuerpo depende de su forma.

Para medir el volumen de un cuerpo se utilizan unidades cúbicas, que son: milímetro cúbico, centímetro cúbico, decímetro cúbico y metro cúbico

Definición

Un Sólido o Cuerpo Geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen.

Los cuerpos geométricos tridimensionales ocupan siempre un espacio. La medida de ese espacio recibe el nombre de volumen. Asimismo, los cuerpos que están huecos pueden albergar en su interior otros cuerpos (sólidos, líquidos o gaseosos) en una cantidad que recibe el nombre de capacidad.

Cuando estudiamos las áreas hablábamos de dos dimensiones: largo y ancho. El producto de los valores largo X ancho nos da el área.
Para calcular un volumen necesitamos tres dimensiones: largo, ancho y alto. El producto de los valores largo X ancho X alto nos da el volumen.
Es lo mismo que decir, el volumen lo calculamos también multiplicando el área de la base por la altura.

http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/05-superficie.htm#supregala

http://www.escolar.com/geometr/11calcu.htm

http://www.escueladigital.com.uy/geometria/4_figplanas.htm#construccion

http://poligonomodular.blogspot.mx/2011/01/definicion-de-solidos-geometricos.html

http://www.aula365.com/post/los-cuerpos-geometricos/